\section{Interferenza di fotone singolo}
Dal momento che non si possiede una precisa funzione di risposta del piezoelettrico, non è possibile convertire il voltaggio applicato al piezoelettrico nella posizione dello specchio e quindi effettuare un fit con una $f(x) = a + b \cos^2(2\pi x/\lambda)$.\\
\`E stato comunque possibile mostrare che in regime di singolo fotone l'interferenza si comporta come in regime di alta intensità.
Utilizzando dati acquisiti in regime di singolo fotone, si è effettuata la caratterizzazione del piezo esattamente come nel rigime di alta intensità. Si è mostrato che le distribuzioni sui parametri ottenute nei due diversi regimi sono compatibili.\\

Si sono acquisite $11$ sinusoidi ognuna delle quali della durata di $\SI{100}{s}$. In Figura \ref{fig:InterferenzaCompletaFS} sono riportati quattro esempi delle sinusoidi acquisite.

\begin{figure}[!htb]
    \centering
    %\subfloat[][\emph{}.]
      {\includegraphics[width=0.455\columnwidth , height=0.23\textheight]{./graph/final/figura_di_interferenza_completa_0}}
    %\subfloat[][\emph{}.]
      {\includegraphics[width=0.455\columnwidth , height=0.23\textheight]{./graph/final/figura_di_interferenza_completa_1}}
      \\
    %\subfloat[][\emph{}.]
      {\includegraphics[width=0.455\columnwidth , height=0.23\textheight]{./graph/final/figura_di_interferenza_completa_2}}
    %\subfloat[][\emph{}.]
      {\includegraphics[width=0.455\columnwidth , height=0.23\textheight]{./graph/final/figura_di_interferenza_completa_3}}
    \caption[Figura di interferenza fotone singolo]{Sono riportati quattro esempi delle sinusoidi acquisite in regime di fotone singolo.}
    \label{fig:InterferenzaCompletaFS}
\end{figure}

Per ogni sinusoide è stato eseguito il fit della figura di interferenza con la funzione \ref{eq:FormulaFit}. Come si può notare dalle Figure \ref{fig:InterferenzaCompletaFS}, i dati dei picchi superiori risultano sistematicamente inferiori alla curva interpolante. Questo ci ha suggerito l'ipotesi che già ad una frequenza di conteggio di $\SI{60}{kHz}$ il PMT perda la sua linearità, per cui si è deciso di non considerare i dati sopra ad una frequenza di conteggio di $\SI{52}{kHz}$.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=0.555\columnwidth , height=0.27\textheight]{./graph/final/figura_di_interferenza_0}
	\caption[Figura di interferenza fotone singolo]{Figura di interferenza eseguita in regime di fotone singolo. I dati sopra la frequenza di conteggio di $\SI{52}{kHz}$ sono stati scartati.}
	\label{fig:InterferenzaFS}
\end{figure}

In Figura \ref{fig:InterferenzaFS} è riportato un esempio di grafico in cui sono stati eliminati i dati sopra la soglia impostata. Dai fit sono stati ricavati i valori del termine quadratico $q$ e del termine lineare $l$.

In Figura \ref{hist:IstogrammaParametriFS} vengono confrontate le distribuzioni dei parametri con quelle ottenute in regime di alta intensità.

\begin{figure}[!htb]
    \centering
    \subfloat[][\emph{Parametro lineare $l$}.]
      {\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/final/par_lineare_isto}} \quad
    \subfloat[][\emph{Parametro quadratico $q$}.]
      {\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/final/par_quadratico_isto}}
    \caption[Parametri $q$ e $l$]{Istogrammi dei parametri lineare $l$ e quadratico $q$. Sono stati sovrapposti i valori ottenuti in regime di fotone singolo (bassa intensità) e ad alta intensità con l'utilizzo del fotodiodo.}
    \label{hist:IstogrammaParametriFS}
\end{figure}

Si vuole verificare che le due coppie di distribuzioni nella Figura \ref{hist:IstogrammaParametriFS} derivino dalla stessa distribuzione teorica, ovvero che l'interferenza a bassa intensità (regime di fotone singolo) e quella ad alta intensità sono lo stesso fenomeno.\\
A questo scopo abbiamo utilizzato il \emph{test in forma di Kolmogorov}, il quale si basa sul confronto delle distribuzioni cumulative normalizzate, riportate in Figura \ref{fig:ProbabilitaCumulativaFS}.

\begin{figure}[!htb]
    \centering
    \subfloat[][\emph{Parametro lineare $l$}.]
      {\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/final/par_lineare_cum_isto}} \quad
    \subfloat[][\emph{Parametro quadratico $q$}.]
      {\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/final/par_quadratico_cum_isto}}
    \caption[Probabilità cumulativa parametri]{Istogrammi delle probabilità cumulative dei parametri lineare $l$ e quadratico $q$. Sono stati sovrapposti i valori ottenuti in regime di fotone singolo (bassa intensità) e ad alta intensità con l'utilizzo del fotodiodo.}
    \label{fig:ProbabilitaCumulativaFS}
\end{figure}

Eseguendo il test abbiamo trovato per il termine lineare una probabilità del $\input{./value/final/kolmogorov_prob_par_lineare.txt}\%$ e per il termine quadratico del $\input{./value/final/kolmogorov_prob_par_quadratico.txt}\%$.
\FloatBarrier
